Se puede escribir así mismo, pero asimismo existe a sí mismo

Perdón por el galimatías, pero si conseguimos explicar con claridad la diferencia entre estas tres expresiones, la frase cobrará sentido. Las dos primeras pueden ser equivalentes en determinados contextos y la tercera no debe confundirse con las otras dos en ningún caso.
 
Asimismo es un adverbio que significa ‘también’, ‘además’.
Así mismo es una locución adverbial de modo que significa ‘de ese modo’, ‘de la misma forma’.
A sí mismo es la suma de una preposición (a), un pronombre personal (, con tilde) y un adjetivo (mismo).
 
La confusión más probable se da entre las dos primeras porque ambas pueden usarse con el valor de ‘también’, ‘además’, aunque no es recomendable usar la expresión así mismo con este valor.
 
En cuanto a la tercera forma, es la más fácil de distinguir, porque al estar formada por un pronombre personal y un adjetivo, nos permite escribirla en femenino suponiendo que el referente del pronombre tuviera ese género: a sí misma, o cambiar el pronombre por él: a él mismo.
 
Vamos a explicarlo con una tabla:

 


Imágenes a partir de ilustraciones de Mónica Roig.